Bjr
1)
f est bien définie et dérivable sur [0;2] car
[tex]\dfrac1{2}x+3 \geq 3 > 0[/tex]
et sa dérivée sur cet intervalle est
[tex]f'(x)=\dfrac1{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}x+3}} >0[/tex]
f est croissante et
[tex]f(0)=\sqrt{3}\\\\f(2)=\sqrt{4}=2[/tex]
f est continue donc
[tex]f[0;2] =[\sqrt{3};2][/tex]
2)
[tex]u_1=f(u_0)=\sqrt{-5/2+3}=\sqrt{1/2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Montrer que
[tex]0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2[/tex] est vrai pour tout [tex]n\geq 1[/tex] par récurrence
Initialisation
[tex]0 \leq u_1 \leq 2[/tex]
comme [tex]u_2=f(u_1), 0 \leq u_2 \leq 2[/tex], et
[tex]u_2=\sqrt{\sqrt{2}/4+3}=\dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+12}}{2}\geq\dfrac{\sqrt{9}}{2}=\dfrac{3}{2} \geq \dfrac{\sqrt{2}}{2}=u_1[/tex]
donc c'est vrai au rang 1
Hérédité
soit p entier non nul quelconque et supposons que
[tex]0 \leq u_p \leq u_{p+1} \leq 2[/tex]
Alors comme f est croissante, et avec les résultats du 1) et l'hyupothèse de récurrence
[tex]0 \leq f(0)=\sqrt{3} \leq f(u_p) \leq f(u_{p+1}) \leq f(2)=2\\\\0 \leq u_{p+1} \leq u_{p+2} \leq 2[/tex]
Donc c'est vrai au rang p+1
Conclusion
Nous venons de démontrer par récurrence que
[tex]0 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 2[/tex] est vrai pour tout [tex]n\geq 1[/tex]
3) la suite (un) est donc croissante et majorée par 2 donc elle converge vers une limite l telle que [tex]0 \leq l \leq 2[/tex] et f(l)=l
[tex]l^2=\dfrac{1}{2}l+3 \iff 2l^2-l-6=(2l+3)(l-2)=0[/tex]
On peut trouver la factorisation avec le discriminant = 1+4*2*6=49=7*7 donc les racines sont 8/4=2 et -6/4=-3/2
Comme l est positif par passage à la limite de l'inégalité du 2) la seule racine possible est l =2
De ce fait, la suite (un) converge vers 2.
Merci
