Réponse :
Explications étape par étape :
■ étude sur IR+ de la fonction f
telle que f(x) = 1 + (Lnx)/x²
■ 1a) Limite pour x tendant vers 0+ :
Lim f(x) = Lim (Lnx) = -∞ .
l' axe des ordonnées servira
d' asymptote verticale !
■ 1b) Lim pour x tendant vers +∞ :
Lim f(x) = 1
on aura donc une asymptote horizontale à droite !
( équation de l' asymptote : y = 1 )
■ 2a) dérivée f ' (x) :
f ' (x) = [ x²/x - 2xLnx ] / (x²)²
= x [ 1 - 2Lnx ] / (x²)²
= [ 1 - 2Lnx ] / x³
cette dérivée est positive pour 1 - 2Lnx > 0
2Lnx < 1
Lnx < 0,5
x < exp(0,5)
( exp(0,5) ≈ 1,6487 )
■ 2b) tableau de variation :
x --> 0 Xo 1,6487 +∞
f ' (x) --> positive 0 négative
f(x) --> -∞ 0 1,184 +1
■ 3a) comme la fonction f est continue sur IR+ ,
et croissante sur l' intervalle ] 0 ; 1,64 ] ,
et qu' elle passe de -∞ à +1,184 ,
on peut affirmer que sa représentation
graphique admet un point unique
d' intersection avec l' axe des abscisses .
calcul de Xo :
LnXo / (Xo)² = -1
LnXo = - Xo²
Xo = exp(-Xo²)
Xo ≈ 0,6529 .
conclusion :
les coordonnées du point d' intersection
sont ( 0,653 ; 0 ) .
■ 3b) f est négative sur l' intervalle ] 0 ; 0,6529 ] ;
puis positive ensuite sur [ 0,653 ; + ∞ [ !
