Bjr,
On va se laisser guider par l'énoncé et faire un taux de variation, soit x et y deux réels
[tex]\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{u(x)v(x)-u(y)v(y)}{x-y}\\\\=\dfrac{u(x)v(x)-u(x)v(y)+u(x)v(y)-u(y)v(y)}{x-y}\\\\=\dfrac{u(x)(v(x)-v(y))+(u(x)-u(y))v(y)}{x-y}\\\\=u(x)\dfrac{v(x)-v(y)}{x-y}+v(y)\dfrac{u(x)-u(y)}{x-y}[/tex]
En utilisant le fait que u et v sont deux fonctions dérivable sur I, donc continues aussi, par passage à la limite quand y tend vers x
la limite du taux de variation est u(x)v'(x)+v(x)u'(x) qui existe bien donc f est dérivable et f'(x)=u(x)v'(x)+v(x)u'(x)
2.
de même
[tex]\dfrac{g(x)-g(y)}{x-y}=k\dfrac{u(x)-u(y)}{x-y}\rightarrow ku'(x)\\[/tex]
3.a. dérivée de
[tex]u^2[/tex] est la dérivée de u fois u donc
1 * u + u * 1 = 2u
[tex]u^3=u\times u^2 \\\\[/tex]
donc la dérivée est
[tex]1*u^2+u*(2u)=3u^2[/tex]
b
la dérivée de [tex]u^n[/tex]
est [tex]nu^{n-1}[/tex]
On peut le démontrer par récurrence
Merci
