bjr
2)
puisque MA et MC sont tangentes au cercle les angles MAO et MCO
sont des angles droits
on considère les triangles rectangles MAO et MCO
• OA = OC (rayons du cercle)
• OM = OM (côté commun)
théorème de Pythagore
OM² = OA² + AM² et OM² = OC² + CM²
AM² = OM² - OA² et CM² = OM² - OC²
AM² = OM² - R² et CM² = OM² - R²
• AM = CM
ces triangles ont leurs 3 côtés égaux deux à deux, il sont égaux
on en déduit que : angle AMO = angle CMO (1)
d'autre part les angles alterne-internes AMO et MOP, déterminés par les parallèles AM et OP et la sécante MO sont égaux
angle AMO = angle MOP (2)
(1) et (2) => angle CMO = angle MOP
le triangle PMO a deux angles égaux, il est isocèle : PO = PM
3)
a)
tout triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle ayant pour
diamètre l'hypoténuse
le cercle de diamètre OM passe par A et C, sommets des angle droits des triangles rectangles MAO et MCO
b)
quadrilatère AODM
l'angle A est droit (tangente)
l'angle C est droit ( " )
l'angle D est droit (D projeté orthogonal de M sur (OP)
ce quadrilatère a 3 angles droits, c'est un rectangle
c)
quadrilatère OCDM
• triangle OAM = triangle OMC (début)
• triangle OAM = triangle OMD (moitiés du rectangle)
triangle OMC = triangle OMD => OC = MD
dans le cercle de diamètre OM
angle OMC = angle ODC (ils interceptent le même arc OC)
or OMC = angle MOD (tr isocèle)
d'où angle ODC = angle MOD
ils sont en position d'angle alternes-internes
(OM) // (CD)
OC = MD et (OM) // (CD) => trapèze isocèle
