1) a. Comme f est une fonction affine de coefficient directeur négatif, c'est une droite descendante.
b. Cf. pièce jointe
2) a. Puisque (AB) est une droite, c'est une fonction affine d'équation : h(x) = ax + b
Or, comme elle passe par les points A(-4 ; 2) et B(1 ; 7) son coefficient directeur est :
a = (yA - yB) : (xA - xB) = (2 - 7) : (-4 - 1) = -5/-5 = 1
Son équation est donc : h(x) = x + b
Or en B, on a h(1) = 7 or h(1) = 1 + b ⇒ 7 = 1 + b ⇔ b = 6
Ce qui fait que l'équation de la droite (AB) est : h(x) = x + 6
b. -2x + 1 = x + 6 ⇔ -2x - x = 6 - 1 ⇔ x = -5/3
Ce qui donne en f(-5/3) = 10/3 + 1 = 13/3 et h(-5/3) = -5/3 + 6 = 13/3
Sur le graphique, on a bien C(-5/3 ; 13/3)
c. -2x + 1 < 0 ⇔ -2x < -1 ⇔ x > 1/2
Sur le graphique, on constate bien que f(x) < 0 à partir du point D(1/2 ; 0)
3) a. La dérivée de g(x) = -2x² - 11x + 6 est g'(x) = 2 × -2x - 11 = -4x - 11
Or -4x - 11 < 0 ⇔ -4x < 11 ⇔ x > -11/4
Or si g'(x) ≥ 0, g est croissante ⇒ g est croissante jusqu'à x = -11/4
si g'(x) ≤ 0, g est décroissante ⇒ g est croissante à partir de x = -11/4
Et pour x = -11/4, g(x) = -2(-11/4)² - 11(-11)4 + 6) = -121/8 + 242/8 + 48/8 = 169/8
⇒ g est croissante jusqu'à point E(-11/4 ; 169/8)
b. Ce qui donne le tableau de variations suivant :
| x | -inf -11/4 +inf |
| g'(x) | + 0 - |
| g(x) | Croît 169/8 Décroît |
c. Cf. le graphique en pièce jointe.
d. (-2x + 1) (x + 6) = -2x² - 12x + x + 6 = -2x² - 11x + 6 = g(x)
e. Comme un produit de deux facteurs est négatif si les deux facteurs sont de signe contraire, et qu'il est positif s'ils sont tous deux de même signe et comme x + 6 < 0 ⇔ x < -6, la fonction sera :
- négative jusqu'à de x = -6 puisque f(x) > 0 et g(x) < 0 ;
- positive de x = -6 jusqu'à x = 1/2 puisque f(x) > 0 et g(x) > 0 ;
- à nouveau négative à partir de x = 1/2 puisque f(x) < 0 et g(x) > 0.
On a donc le tableau de signes :
| x | -inf -6 1/2 +inf |
| g(x) | - 0 + 0 - |
