Bonjour tout le monde, j'ai un DM sur les suites à faire pour demain et je suis un peu perdu, si quelqu'un pouvait au moins m'éclairer ce serait top.
Merci d'avance !

... Suite de Fibonacci :
La suite de Fibonacci est l'une des suites mathématiques les plus connues. Elle doit son nom au mathématicien
italien Leonardo Pisano, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175 - 1250). Dans un problème
récréatif posé dans un de ses ouvrages Fibonacci décrit la croissance d'une population de lapins :
<< Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple
engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »
Ce qui donne la relation de récurrence :
Fi=F2=1
Fn+2=Fn+1+F.
a) Calculer les 10 premiers termes de la suite de Fibonacci.
b) On considère la suite (G.) telle que Go = Ent? Calculer les 9 premiers termes de la suite (Ga).
F.
c) En utilisant la définition de la suite F. déterminer l'expression de Gn+1 en fonction de Gn.
d) Résoudre l'équation x? - x-1=0. On appellera o la plus grande des racines.
e) Représenter graphiquement la suite (Gn).
f) Vers quel nombre semble « converger » les nombres de la suite (Gm) (vérifier graphiquement).
g) On définit la suite (B.) telle que : B,
q" - (1 - 0)
;n> 1. Vérifier que B1 = F1, B2 = F2, B3 = Fz.
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On admettra que la suite (B.) est égale à la suite (F.). Ainsi, (Fn), suite définie par récurrence, est
connue par une formule explicite donnée par la suite (B.). Cette formule est appelée formule de Binet.

Question

Answered

Sagot :

croisierfamily croisierfamily · Answer 1 · 2021-02-01T17:30:32+01:00

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Fibonacci : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 : 13 ; 21 ; 34 ; F10 = 55 ;

89 ; 144 ; 233 ; 377 ; F15 = 610 ; ...

■ Ta suite (Gn) n' est pas très claire ! ☺

Go = 8/5 = 1,6 ; G1 = 13/8 ≈ 1,625 ; G2 = 21/13 ≈ 1,615

; G3 = 34/21 ≈ 1,619 ; G4 = 55/34 ≈ 1,618 ;

G5 = 89/55 ≈ 1,618 ; ...

Gn = F(n+6) / F(n+5)

G(n+1) = F(n+7) / F(n+6)

= [ F(n+6) + F(n+5) ] / F(n+6)

= 1 + 1/Gn

cherchons la Limite :

L = 1 + 1/L donne L² = L + 1

L² - L - 1 = 0

Gn tend donc vers L = 0,5(1+√5) ≈ 1,618

■ x² - x - 1 = 0 donne discriminant Δ = 5 = (√5)²

d' où les racines L = 0,5(1+√5) ≈ 1,618

M = 0,5(1-√5) ≈ -0,618

remarque : M = -1/L .

■ formule de Binet :

Fn = (1/√5) (L^n - M^n) ≈ 0,4472 (L^n - M^n)

avec L = 0,5(1+√5) ≈ 1,618 et M = 0,5(1-√5) ≈ -0,618

vérif pour F10 :

F10 ≈ 0,4472 (1,618^10 - 0,618^10) ≈ 54,99 --> 55 .

■ il est évident que M^n va tendre vers zéro

pour n infini car 0,618 est inférieur à 1

--> Limite Fn = (1/√5) L^n = +∞ .