Bjr, Je vais noter S ce sup qui existe sur IR barre comme A est non vide.
[tex]\{|x-y|, x\in A, y\in A\}\\\\=\{x-y, x\in A, y\in A, x\geq y\}\cup \{-x+y, x\in A, y\in A, x\leq y\}\\\\=\{x-y, x\in A, y\in A, x\geq y\}\cup \{-y+x, x\in A, y\in A, y\leq x\} \\\\=\{x-y, x\in A, y\in A, x\geq y\}[/tex]
[tex]\forall x\in A, \forall y\in A, x \geq y, |x-y|=x-y\leq S[/tex]
Donc nous avons
[tex]\forall x\in A, \forall y\in A, x \geq y, x\leq S +y[/tex]
Comme c'est vrai pour tout y
[tex]\forall x\in A, x \geq y, x\leq S +Inf(A)[/tex]
Et comme c'est vrai pour tout x
[tex]Sup(A)\leq S +Inf(A)[/tex]
et donc
[tex]Sup(A)- Inf(A)\leq S[/tex]
Maintenant, soit x dans A et y dans A, x= (x-y) + y
comme x est dans A il est plus petit que le Sup(A)
comme y est dans A il est plus grand que le Inf(A)
[tex](x-y)+Inf(A) \leq x=(x-y)+y\leq Sup(A)[/tex]
[tex](x-y)\leq Sup(A) -Inf(A)[/tex]
Et, comme c'est vrai pout tout x et y, donc
[tex]S\leq Sup(A)-Inf(A)[/tex]
d'où l'égalité.
Merci
