Réponse :
Bonjour Caramel , j'espère que tu comprendras mes explications pour cet exercice classique sans difficulté particulière (excepté les risques d'erreurs de calcul).
Explications étape par étape
f(x)=(ax²+bx+c) e^-x
1-a)A(-3; 0) et B(0;3) donc f(-3)=0 et f(0)=3.
1-b)La droite (AB) a pour équation y=mx+p avec m=(yB-yA)/(xB-xA)=3/3=1; elle passe par B(0;3) donc p=3 d'où l'équation y=x+3. Comme cette droite est la tangente à la courbe en B, f'(xB)= coef.directeur de cette droite, donc f'(0)=1 .
2) f(x) est de la forme u*v sa dérivée f'(x) est (u'v+v'u) avec
u=ax²+bx+c u'=2ax+b
v=e^-x v'=-e^-x
f'(x)=(2ax+b)(e^-x)-(e^-x)(ax²+bx+c)
on factorise e^-x donc f'(x)=(e^-x)(-ax²-bx-c+2ax+b)=[-ax²+(2a-b)x+b-c]*e^-x.
On sait que f'(0)=1 donc (b-c)e^0=1 soit b-c=1 (équation1)
3)On sait que:
f(0)=3 donc c*e^0=c donc c=3 (équation2)
f(-3)=0 comme e^-x est toujours>0 il faut que ax²+bx+c=0 soit que
9a-3b+c=0 (équation3)
Du système formé par les équations 1,2,3 on tire
c=3 et b=1+3=4
on remplace dans l'équation3 ce qui donne: 9a-12+3=0 donc a=1
f(x)=(x²+4x+3)*e^-x (réponse donnée dans la partie B)
Partie B:
1) Etude de f(x)
a) Domaine de définition DF=R
b) Limites aux bornes
*si x tend vers -oo, x²+4x+3 tend vers +oo et e^-x tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo
*si x tend vers +oo, x²+4x+3 tend vers +oo et e^-x tend vers 0+, compte tenu des croissances comparées f(x) tend vers 0+
c) Dérivée:En utilisant la formule vue dans la partie précédente
f'(x)=(2x+4)(e^-x)-(e^-x)(x²+4x+3)=(-x²-2x+1)(e^-x)
le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de -x²+2x+1
On résout -x²-2x+1=0 delta=8 solutions x1=-1-rac2 et x2=-1+rac2
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -1-V2 -1+V2 +oo
f'(x)............-..........................0...........+..................0................-.........................
f(x) +oo....décroi.........f(-1-V2)....croi ........f(-1+V2).........décroi...............0+
2) les tangentes // à l'axe des abscisses sont celles donc le coefficient est nul, soient les solution de f'(x)=0 ce sont les points d'abscisse x1 et x2 pour déterminer les ordonnées de ces points tu calcules
f(-1-V2)=..... et f(-1+V2)=...... (calculatrice)tu dois trouver des valeurs compatibles avec le tracé de la courbe.
3) Convexité: Il faut déterminer le signe de la dérivée seconde
f'(x)=(-x²-2x+1)e^-x
même méthode que pour f'(x)
f"(x)=(-2x-2)(e^-x)-(e^-x)(-x²-2x+1)=(e^-x)(x²+2x-1-2x-2)=(e^-x)(x²-3)
le signe de f"(x) dépend du signe de x²-3
x²-3=0 solutions: x3=-rac3 et x4=+rac3
Tableau de convexité
x -oo -V3 +V3 +oo
f"(x) ..........+.........................0...............-................0.................+................
f(x) +oo......convexe.........f(-V3)....concave......f(V3)......convexe.........0+
