Réponse :
bonjour
Explications étape par étape
a)
dérivée de 1/x = -1/x²
donc f'(x) = -1/x² + 1
b) on met au même dénominateur et on trouve b)
c) identité rmarquable:
x² - 1 = x² - 1² = (x - 1)(x + 1)
f'(x) = - (1 - x)(1 + x) / x².
le dénominateur est toujours positif.
Donc f'(x) sera négative si (1-x)(1+x) est positif, et inversement.
on regarde où (1-x)(1+x) s'annule:
(1-x)(1+x) = 0
ssi x=1 ou x=-1
1-x et 1+x sont de même signe quand x compris entre -1 et +1, et de signes opposés ailleurs.
Donc quand x compris entre -1 et +1, -(1-x)(1+x) est négatif,
et pour ]-inf;-1[ et ]1;+inf[, -(1-x)(1+x) est positif
d) on en déduit facilement le sens de variation de f:
f est croissante sur ]-inf;-1[ et sur ]1;+inf[
f est décroissante sur ]-1;0[ et sur ]0;1[
f n'est pas définie pour x=0
