Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
On développe :
(x+1)²+4=x²+2x+1+4=x²+2x+5
(x+1)²+4 est toujours positif car somme de 2 nombres positifs ( ou nul pour (x+1) si x=-1).
Donc :
x²+2x+5 > 0
Donc :
Df=IR ( ensemble des réels).
2)
On a donc : f(0)=2/5.
On reporte f(0)=2/5 dans f(x)=2(x²+ax+b)/(x²+2x+5) :
2(0+0+b)/(0+0+5)=2/5
(2/5)b=2/5
b=(2/5)(5/2)
b=1
3)
Donc :
f(x)=2(x²+ax+1)/(x²+2x+5)
f(x) est de de la forme u/v avec :
u=2x²+2ax+2 donc u'=4x+2a
v=x²+2x+5 donc v '=2x+2
f '(x)=[(4x+2a)(x²+2x+5)-(2x²+2ax+2)(2x+2)] / (x²+2x+5)²
f '(x)=(4x³+8x²+20x+2ax²+4ax+10a-4x³-4x²-4ax²-4ax-4x-4) / (x²+2x+5)²
Tu vérifies ce que je viens de faire , tu réduis et tu trouves ce qui est donné.
4)
On a donc :
f '(x)=[(4-2a)x²+16x+10a-4] / (x²+2x+5)²
Tangente horizontale en x=-3 implique f '(-3)=0
Ce qui donne :
[(4-2a)(-3)²+16(-3)+10a-4] / [(-3)²+2(-3)+5]²=0
[9(4-2a)-48+10a-4] / (9-6+5)²=0
Pour qu'une fraction soit nulle , il faut et il suffit que son numérateur soit nul.
Ce qui donne :
[9(4-2a)-48+10a-4]=0
Je te laisse développer et trouver :
-8a-16=0
Et à la fin :
a=-2
5)
On a donc :
f '(x)=[(4-2(-2))x²+16x+10(-2)-4] / (x²+2x+5)²
Tu arranges ça et tu trouves :
f '(x)=(8x²+16x-24)/(x²+2x+5)
Maintenant , tu développes :
8(x+3)(x-1)=8(x²-x+3x-3)=...
Je te laisse finir et trouver ce qui est donné.
6)
f '(x) est donc du signe du produit : (x+3)(x-1)
x+3 > 0 pour x > -3
x-1 > 0 pour x > 1.
Tableau de variation de f(x) :
x---------->-∞.....................-3.......................1..........................+∞
(x+3)----->.........-................0........+.......................+................
(x-1)------->........-..............................-...........0.........+...............
f '(x)------>.........+...............0..........-..............0........+..............
f(x)---------->.......C.............f(-3)........D............f(1)......C.........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
On a donc :
f(x)=2(x²-2x+1)/(x²+2x+5)
Tu dois trouver ;
f(-3)=4 et f(1)=0 comme on le voit sur le graphique.
