Réponse :
Explications étape par étape :
■ dans le triangle ABC :
angle â = 180 - 36 - 53 = 91° .
■ Al-Kashi dit dans le triangle ABC :
250² = b² + c² - 2 bc cos91°
donc b² + c² = 62500 + 0,0349 bc
c² = 250² + b² - 2*250*b*cos36°
donc c² = 62500 + b² - 404,5 b
d' où 2b² - 404,5 b = 0,0349 bc
2 b - 404,5 = 0,0349 c
b = 202,25 + 0,01745 c
b² = 40905 + 7,0585 c + 0,0003045 c²
résumé :
40905+7,0585c+0,0003045c²+c² = 62500+0,0349(202,25c+0,01745c²)
40905+7,0585c+1,0003045c² = 62500+7,0585c+0,000609c²
0,9996955c² = 21595
c² ≈ 21601,6
c ≈ 147 .
■ conclusion : AB ≈ 147 ( et AC ≈ 205 )
■ dans le triangle rectangle ABN :
cos51° = AB/AN donne
AN = AB/cos51° = 147/cos51°
d' où AN ≈ 233,6 .
■ Al-Kashi dans ABM :
a² = 147² + b² - 2*147*b*cos51°
donc a² = 21609 + b² - 185 b
147² = a² + b² - 2ab*cos76°
donc 21609 = a² + b² - 0,48384ab
d' où 2b² - 185b - 0,48384ab = 0
2b - 185 - 0,48384a = 0
b = 92,5 + 0,24192a
b² = 8556 + 44,755a + 0,058525a²
résumé :
a² = 21609+8556+44,755a+0,058525a² - 17112,5 - 4,4755a
0,941475a² + 40,28a - 30165 = 0
a ≈ 158,9 d' où b ≈ 130,9 .
■ conclusion : AM ≈ 130,9 .
■ ■ conclusion finale :
AM ≈ 130,9 ; MN ≈ 102,7 ; AN ≈ 233,6 .
■ remarque :
si ABDC avait été un trapèze rectangle
avec angles droits en A et B
--> ça aurait été moins compliqué ! ☺