Bjr,
a.
[tex]z_{n+1}=u_{n+1}+iv_{n+1}\\\\=\sqrt{3}u_n-v_n+iu_n+i\sqrt{3}v_n\\\\=\sqrt{3}(u_ n+iv_n) +i(u_n+iv_n)\\\\=(\sqrt{3}+i)(u_n+v_n)\\\\=(\sqrt{3}+i)z_n[/tex]
b.
(zn) est une suite géométrique de raison a et de premier terme 1
[tex]z_n=a^n=(\sqrt{3}+i)^n[/tex]
c.
[tex]cos(\pi/6)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\\\sin(\pi/6)=\dfrac{1}{2}\\\\a=2\times \dfrac{\sqrt{3}+i}{2}=2(cos(\pi/6)+isin(\pi/6))=ae^{i\pi/6}[/tex]
Donc
[tex]z_n=2^ne^{i\dfrac{n\pi}{6}}=2^n(cos(n\pi/6)+isin(n\pi/6))[/tex]
d.
un est la partie réelle de zn
vn est la partie imaginaire de zn
donc
[tex]u_n=2^ncos(n\pi/6)\\\\v_n=2^nsin(n\pi/6)[/tex]
Merci
