Réponse :
le seul nombre premier de la forme n⁴ + 4
est obtenu pour n = 1 --> 5
Explications étape par étape :
■ BONJOUR !
■ n⁴ + 4 = (n² + 2)² - (2n)²
= (n²+2 - 2n) (n²+2 + 2n)
= [ (n-1)² + 1 ] [ (n+1)² + 1 ]
= (n-1)²(n+1)² + (n-1)² + (n+1)² + 1
= (n²-1)² + 2n² + 3
■ on veut n⁴ + 4 au moins impair
--> on veut (n²-1)² pair
--> on veut n²-1 pair
--> on veut n² impair
--> il faut n impair = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ...
■ tableau-réponse :
n --> 1 3 5 7 9
n⁴ + 4 --> 5 85 629 2405 6565
629 n' est pas premier puisque 629 = 17x37
85 ; 2405 ; 6565 ; ... sont divisibles par 5 .
■ soit n = 2k + 1 ( donc n impair ) :
[ (2k+1)² ]² + 4 = [ 4k² + 4k + 1 ]² + 4
= 16k^4 + 16k² + 1 + 32k³ + 8k² + 8k + 4
= 16k^4 + 32k³ + 24k² + 8k + 5
= 8k(2k³+4k²+3k+1) + 5
on veut un nombre n⁴ + 4 impair " non-Multiple de 5 "
k --> 0 1 2 3
n --> 1 3 5 7
n⁴ + 4 --> 5 85 629 2405
■ conclusion :
le seul nombre premier de la forme n⁴ + 4
est obtenu pour n = 1 --> 5 .
