Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
Soit P la fonction polynome définie par P(x) = x^4+2x^3-16x^2-2x+15
a) Calculer P (1) et P (-1) puis mettre P(x) sous la forme d'un produit de facteurs du premier
degre
P(1) = 1^4 + 2 * 1^3 - 16 * 1^2 - 2 * 1 + 15
P(1) = 1 + 2 - 16 - 2 + 15
P(1) = 0
P(-1) = (-1)^4 + 2 * (-1)^3 - 16 * (-1)^2 - 2 * (-1) + 15
P(-1) = 1 - 2 - 16 + 2 + 15
P(-1) = 0
P(x) = (x - 1)(x + 1)(ax^2 + bx + c)
P(x) = (x^2 - 1)(ax^2 + bx + c)
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 - ax^2 - bx - c
P(x) = ax^4 + bx^3 + x^2(c - a) - bx - c
a = 1
b = 2
c - a = -16 => c = -16 + 1 = -15
-b = -2 => b = 2
-c = 15 => c = -15
P(x) = (x + 1)(x - 1)(x^2 + 2x - 15)
b) Resoudre dans R, P(x) =0 et P(x) < 0.
x + 1 = 0 ou x - 1 = 0 ou x^2 + 2x - 15 = 0
x = -1 ou x = 1 ou [tex]\Delta = 2^{2} - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^{2}[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = 8[/tex]
x1 = (-2 - 8)/2 = -10/2 = -5
X2 = (-2 + 8)/2 = 6/2 = 3
S = {-5 ; -1 ; 1 ; 3}
P(x) < 0
x.................|-inf..........(-5).........(-1).........1.......3.......+inf
x - 1............|.......(-).............(-)...........(-)...o..(+)....(+)........
x + 1...........|.......(-).............(-).....o...(+).......(+).....(+).......
x^2+2x-15|.......(+).......o...(-)...........(-).......(-)..o...(+).....
Ineq..........|........(+)......o...(-).....o....(+)..o..(-).o...(+).....
[tex]x \in ]-5 ; -1[ U ]1 ; 3[[/tex]
2. Soit F la fonction rationnelle définie par: F(X) =P(x)/-x+ 5x-6
a) Déterminer le domaine de définition Df de F.
L’expression n’est pas Claire donc je ne fais pas
On considère l'expression
P(x) = -3x^4 +5x^3+5x^2-5x-2
1°) Montrer que -1 et 1 sont des racines de P(x).
P(1) = -3 * 1^4 + 5 * 1^3 + 5 * 1^2 - 5 * 1 - 2
P(1) = -3 + 5 + 5 - 5 - 2
P(1) = 0
P(-1) = -3 * (-1)^4 + 5 * (-1)^3 + 5 * (-1)^2 - 5 * (-1) - 2
P(-1) = -3 - 5 + 5 + 5 - 2
P(-1) = 0