Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
Tu remplaces f(x) par g dans ce qui suit !!
Je suis obligé de faire la 1) pour expliquer .
Quand x tend vers - inf :
lim f(x)= lim x/x²= lim 1/x= 0
Quand x tend vers + inf :
lim f(x)= lim x/x²= lim 1/x= 0
Tu as trouvé f '(x)=(-x²+8x+9)/(x²+9)² .
Donc f '(x) est du signe de : -x²+8x+9 qui est positif entre ses racines car le coeff de x² est < 0.
Les racines sont : -1 et 9.
De plus f(-1)=-1/2 et f(9)=1/18
Tableau de variation :
x---------->-inf....................-1.....................9...................+inf
f '(x)------>..............-............0.........+..........0......................
f(x)-------->lim=0......D........-1/2......C......1/18...................lim=0
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
Sur ]-inf;-1] , f(x) est continue et strictement décroissante avec lim f(x) = 0 pour x tendant vers -inf et f(x)=-1/2 pour x=-1. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur ]-inf;-1] , f(x) ∈ ]0;-1/2].
Sur [-1;9] , f(x) est continue et strictement croissante avec f(x)=-1/2 pour x=-1 et f(x)=1/18 pour x=9. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur [-1;9], f(x) ∈[-1/2;1/18].
Sur [9;+inf[, f(x) est continue et strictement décroissante avec f(x)=1/18 pour x=9 et lim f(x) = 0 pour x tendant vers +inf. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur [9;+inf[, f(x) ∈ [1/18;0[.
Ce qui permet de conclure que :
-1/2 ≤ f(x) ≤ 1/18
