Bonjour,
A)1)
Nous avons l'équation différentielle suivante :
[tex]y'=-0,124y[/tex]. Les solutions de cette équation sont sous la forme [tex] f(x)=Ae^{-0,124x}, A \in \mathbb{R} [/tex] une constante à déterminer selon les conditions initiales.
2) [tex] f(0)=15,3 \iff Ae^{-0,124\times0}=15,3 \iff A=15,3 [/tex]. Donc la solution telle que [tex] f(0)=15,3 [/tex] est [tex] f(x)=15,3e^{-0,124x} [/tex].
B)1)
La fonction [tex] f [/tex] est dérivable sur [tex] \mathbb{R}^{+} [/tex] comme composé de fonctuons derivables sur cet ensemble. On a :
[tex] \forall t \in \mathbb{R}^{+}, f'(t)=-0,124\times15,3\times e^{-0,123t}=-1.8972e^{-0,123t}<0 [/tex]. Donc la fonction est decroissante sur [tex] \mathbb{R}^{+} [/tex].
2) La limite de f en [tex] +\infty [/tex] est la limite de [tex] e^{-0,123t} [/tex] en l'infini, donc 0. Donc, après un temps suffisamment long, le carbone 14 sera totalement désintégré.
C)1) Il nous suffit de resoudre l'équation : [tex] f(t)=7,27 [/tex]. On a :
[tex]15,3e^{-0,123t}=7,27 \iff e^{-0,123t}=\frac{7,27}{15,3} \iff t=\frac{ln(\frac{7,27}{15,3})}{-0,123}=6,05[/tex]. [tex] t [/tex] étant exprimé en milliers d'années, on peut donc estimer l'âge de ces fragments à [tex] 6000 [/tex] ans.
2) Il nous suffit de resoudre [tex] f(t) \leqslant 0,03f(0) [/tex]. On a :
[tex] 15,3e^{-0,123t} \leqslant 0,003\times15,3 \iff e^{-0,123t} \leqslant 0,003 \iff -0,123t \leqslant ln(0,003) [/tex] car la fonction logarithme neperien est strictement croissante sur [tex] \mathbb{R}^{+} [/tex].
On a donc : [tex] t \geqslant \frac{ln(0,003)}{-0,123} \iff t \geqslant 47,2 [/tex].
Donc, au bout de 47200 ans, l'organisme ne peut plus être daté au carbone 14.
Bonne journée !
