Bonjour,
Comme le triangle est rectangle en B nous avons avec Pyhtagore
[tex]AB^2+BC^2=AC^2\\[/tex]
On aimerait bien faire apparaitre (AB+BC)
[tex](AB+BC)^2=AB^2+BC^2+2 AB \cdot BC[/tex]
Et nous pouvons aussi remarquer que
[tex](AB-BC)^2\geq 0\\\iff AB^2+BC^2-2AB\cdot BC \geq 0\\\\\iff AB^2+BC^2+2AB\cdot BC-4AB\cdot BC \geq 0\\ \\\iff (AB+BC)^2\geq 4AB\cdot BC\\\\\iff 2AB\cdot AC \leq \dfrac{(AB+BC)^2}{2}[/tex]
Ainsi notre première équation peut s'écrire
[tex]AB^2+BC^2=(AB+BC)^2-2AB \cdot BC= AC^2\\ \\(AB+BC)^2=AC^2+2AB\cdot BC \leq AC^2+\dfrac{(AB+BC)^2}{2}\\\\\iff \dfrac{2-1}{2}(AB+BC)^2\leq AC^2\\\\\iff (AB+BC)^2\leq 2AC^2\\\\\iff AB+BC \leq \sqrt{2} AC[/tex]
Car toutes ces valeurs sont positives.
Merci
