Système {parachutiste}
Référentiel : Terrestre, supposé galiléen
On choisit une base cartésienne à axe descendant
Inventaire des actions mécaniques :
le poids : P = mg *ez (faut mettre des vecteurs mais je peux pas en mettre)
frottement sec : f = -kv*ez
On applique le principe fondemmental de la dynamique projeté sur ez :
m dv/dt = mg - kv
d'où : dv/dt + k/m v = g
donc v est solution de (E) : y' +0.3125y = 10
2.
L'équation différentielle est : (E) : y' = -0.3125y+10
On définit l'équation homogène associé : (H) : y' + 0.3125y = 0
( Tu as une équation du premier ordre homogène et normalisé tu sais d'après ton cours que les solutions sont toutes les fonctions de la forme : x --> β*exp(-A(x)) avec β décrivant R et A une primitive de x --> 0.3125 )
Les solutions de (H) sont toutes les fonctions de la forme : x --> β*exp(-0.3125x) ,avec β décrivant R
On cherche une solution particulière de (E) :
(Ici ton second membre est une constante donc en introduisant une fonction constante dans ton équation tu devrais obtenir une solution particulière, de manière général au brouillon introduit une fonction de la forme du second membre avec des constantes à déterminer et détermine les en injectant ta fonction dans l'équation)
x --> 32 convient ( 32 = 10/0.3125)
Les solutions de (E) sont toutes les fonctions de la forme v : x --> β*exp(-0.3125x) + 32 , avec β décrivant R
3. On a : v(0) = 0 et v vérifie (E) donc : 0 = β + 32, d'où :
v : t --> 32(1-exp(-0.3125t) ), en particulier pour tout t≥0, v(t) = 32(1-exp(-0.3125t))
4. On a. : pour tout t≥0, exp(-0.3125t) ≤ 1 donc : pour tout t≥0, v(t) ≤ 32 et v(t) tend vers 32 pour t tend vers l'infinie.
Or 32m/s = 32*3.6 km/h = 115.2 km/h > 50km/h
Donc le parachutiste peut atteindre une vitesse de 50km/h.
