PTITEMEL62
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f(x)= x^3-3x+5 justifier que sur [-4;1] l'équation f(x)=0 admet une unique solution a et que cette solution appartient à l'intervalle [-3;2]

Sagot :

INFOVEST

f(-4)=-47 et f(1)=3

 

De plus, f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)

 

f'(x) >=0 si -4<=x<=-1

f'(x)<=0 si -1<=x<=1

 

f(-1)=7

 

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f est continue , monotone (croissante) sur [-4,-1] et -47 < 0 < 7, donc il existe un réel unique a compris entre -4 et -1 tel que f(a)=0.

 

Sir [-1;1], la fonction est décroissante, mais ne change pas de signe, il n'y a donc pas de solution b telle que f(b)=0

 

DONC IL N ' Y A QU'UNE SEULE SOLUTION sur [-4;1] pour l'équation f(x)=0 

DANIELWENIN

j'espère que tu as vu les dérivées...

dans ce cas il faut faire un tableau de variations de f(x)

f'(x) = 3x²-3 racines -1 et +1

x     -infini      -3        -1                     1                 infini       

f'(x)                  +        0            -        0       +

f(x) -infini  -13  /        7            \        3       /        infini

 

La fonction vient de -infini jusque 7 puis reste positive sur tout le reste de l'intervalle

 

f(-3) = -13 (négatif) et f(-1) = 7 la fonction traverse l'axe des x une seule fois entre -3 et -1.

si tu mets ta fonction dans la partie "table " d la calculatrice tu verras que la racine se situe entre -2,3 et -2,2