Bonjour,
1) Cette fonction est définie si x+b est positif ou nul, ce qui donne
[tex]x+b\geq 0 \iff x\geq -b \iff x \in ]-b;+\infty[[/tex]
2)
2 et 3 sont des nombres remplaçables veut dire que
[tex]f(2)=a-\sqrt{2+b}=3 \iff (a-3)=\sqrt{2+b}=>(a-3)^2=2+b\\\\f(3)=a-\sqrt{3+b}=2 \iff (a-2)=\sqrt{3+b}=>(a-2)^2=3+b[/tex]
Si je fais la différence des deux équations, cela me donne
[tex](a-3)^2-(a-2)^2=(a-3-a+2)(a-3+a-2)=2+b-3-b=-1\\\\-(2a-5)=-1\\\\2a=5+1=6\\\\a=3[/tex]
Et pour a = 3, (a-3)=0 donc nous avons
[tex]\sqrt{2+b}=0 \iff b=-2[/tex]
et nous pouvons vérifier que (3;-2) convient
(3;-2) convient donc 2 et 3 sont remplaçables.
3)
De même, il vient
[tex]f(4)=a-\sqrt{4+b}=7 \iff (a-7)=\sqrt{4+b}=>(a-7)^2=4+b\\\\f(7)=a-\sqrt{7+b}=4 \iff (a-4)=\sqrt{7+b}=>(a-4)^2=7+b[/tex]
et encore une fois la différence donne
[tex](a-7)^2-(a-4)^2=(a-7+a-4)(a-7-a+4)=4+b-7-b=-3\\\\2a-11=1 \iff 2a=12 \iff a=6[/tex]
Mais cette fois ci si je remplace dans la première équation
Il n'y a pas de solution car la racine carrée est toujours positive par définition.
4)
Regardons le cas géneral
[tex]f(u)=a-\sqrt{u+b}=v \iff (a-v)=\sqrt{u+b}=>(a-v)^2=u+b\\\\f(v)=a-\sqrt{v+b}=u \iff (a-u)=\sqrt{v+b}=>(a-u)^2=v+b[/tex]
Et nous devons ajouter comme condition que a-v et a-u soient positifs
ce qui donne
[tex](a-v)^2-(a-u)^2=(a-v-a+u)(a-v+a-u)=(u-v)(2a-u-v)=u-v\\\\2a-u-v=1 \iff 2a = 1+u+v \iff a=\dfrac{1+u+v}{2}[/tex]
Avec les conditions que
[tex]a-u=\dfrac{1+(v-u)}{2} \geq 0 \iff v-u \geq -1\\\\a-v=\dfrac{1-(v-u)}{2}\geq 0 \iff v-u \leq 1\\\\\text{d'ou } \ \boxed{u-1\leq v\leq u+1}[/tex]
Cas 1 : v=u-1 et (u;-v) convient
Cas 2: v=u et (1/2+u;1/4-u) convient
Cas 3: v=u+1 et (v;-u) convient
Sinon il n'existe pas de couple (a;b) qui conviennent car une racine carrée est toujours positive.
Merci