Bonjour,
Tout d'abord, nous pouvons en toute vraisemblance considérer qu'il y a eu plus de peur que de mal, car le jeune conducteur téméraire ne s'est pas blessé.
Nous cherchons un point A(a,b) tel que la tangente en ce point A à la courbe de f passe par le point où est situé le poteau.
L'équation de la tangente en A à la courbe représentative de f est
y-f(a)=f'(a)(x-a)
[tex]f(a)=\dfrac{3}{100}a^3+\dfrac{3}{20}a^2\\\\\\f'(a)=\dfrac{9}{100}a^2+\dfrac{6}{20}a\\\\y=\dfrac{3}{100}a^3+\dfrac{3}{20}a^2+(\dfrac{9}{100}a^2+\dfrac{6}{20}a)x-\dfrac{9}{100}a^3-\dfrac{6}{20}a^2\\\\y=(\dfrac{9}{100}a^2+\dfrac{6}{20}a)x-\dfrac{6}{100}a^3-\dfrac{3}{20}a^2[/tex]
Le point (10;15) doit être sur cette droite donc
[tex]15=(\dfrac{9}{100}a^2+\dfrac{6}{20}a)\times 10-\dfrac{6}{100}a^3-\dfrac{3}{20}a^2\\\\\iff -6a^3-15a^2+90a^2+300a-1500=0\\\\\iff g(a)=-6a^3+75a^2+300a-1500=0[/tex]
Je note g(a) cette expression.
Nous devons maintenant étudier la fonction g qui à a associe g(a)
Nous pouvons nous limiter à a dans [0;6]
car pour a dans [-3;0] f'(a) est négatif et sur cette intervalle f(a) <= f(-3) <= 15 donc la tangente ne pourra pas atteindre le poteau.
g est dérivable et
[tex]g'(a)=-18a^2+150a+300=(a-10)(-18a+30)[/tex]
g'(a) > 0 sur [0;6] donc en utilisant le TVI il existe un unique a tel que g(a)=0 sur [0;6]
et comme g(3.147)<0 et g(3.148)>0 (procéder par dichotomie)
3.14 est une valeur approchée à 0.01 de a
f(3.147)=2.420541...
f(3.148)=2.422377...
donc 2.42 est une valeur approachée à 0.01 de b
Ainsi le point recherché est A (3.14 ; 2.42)
Merci
