Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
a, b et c des nombres réels
positifs tels que: abc = 1
Montrer que :
a/(ab+a+1) + b/(bc+b+1) + c/(ca+c+1) =1
[a(bc + b + 1)(ca + c + 1)] + [b(ab + a + 1)(ca + c + 1)] + [c(ab + a + 1)(bc + b + 1)]/(ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1) = 1
(abc + ab + a)(ca + c + 1) + (ab^2 + ab + b)(ca + c + 1) + (abc + ac + c)(bc + b + 1) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
(1 + ab + a)(ac + c + 1) + (ab^2 + ab + b)(ac + c + 1) + (1 + ac + c)(bc + b + 1) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
(ac + c + 1)(ab + a + 1 + ab^2 + ab + b + bc + b + 1) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
(ac + c + 1)(ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2) = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
a^2b^2c + 2a^2bc + abc^2 + a^2c + 2abc + 2ac + ab^2c + 2abc + bc^2 + ac + 2bc + 2c + ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
ab + 2a + c + a^2c + 2 + 2ac + b + 2 + bc^2 + ac + 2bc + 2c + ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
3ab + 3a + 3c + a^2c + 6 + 3ac + 3b + bc^2 + 3bc + ab^2 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
3(a + b + c) + 3(ab + ac + bc) + a^2c + bc^2 + ab^2 + 6 = (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
=> (ab + a + 1)(bc + b + 1)(ca + c + 1)
= (ab^2c + ab^2 + ab + abc + ab + a + bc + b + 1)(ca + c + 1)
= (b + ab^2 + ab + 1 + ab + a + bc + b + 1)(ac + c + 1)
= (ab^2 + 2ab + bc + a + 2b + 2)(ac + c + 1)
= a^2b^2c + ab^2c + ab^2 + 2a^2bc + 2abc + 2ab + abc^2 + bc^2 + bc + a^2c + ac + a + 2abc + 2bc + 2b + 2ac + 2c + 2
= ab + b + ab^2 + 2a + 2 + 2ab + c + bc^2 + bc + a^2c + ac + a + 2 + 2bc + 2b + 2ac + 2c + 2
= (ab^2 + bc^2 + a^2c) + 3ab + 3bc + 3ac + 3a + 3b + 3c + 6
= 3(a + b + c) + 3(ab + bc + ac) + ab^2 + bc^2 + a^2c + 6
Donc on a :
3(a + b + c) + 3(ab + ac + bc) + a^2c + bc^2 + ab^2 + 6 = 3(a + b + c) + 3(ab + bc + ac) + ab^2 + bc^2 + a^2c + 6