Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, alors... quel est ton niveau ? Si tu es au lycée, ta seule solution, est d'utiliser une conjecture, en calculant manuellement les premiers termes.
Puis, de prouver cette conjecture par récurrence.
Sans récurrence, cela revient à résoudre une équation différentielle d'ordre 2 : U(n+2) + 12 U(n+1) - 2020 Un = 0. Cette équation a l'avantage d'être homogène, sa résolution sera simple.
On appelle (Es), son équation caractéristique associée, il faut donc résoudre : [tex]s^2 + 12s - 2020 = 0[/tex]
Son discriminant est strictement positif, et vaut 8224.
Ainsi, 2 solutions : [tex]s_1 = \frac{-12 - \sqrt{8224} }{2} = -6 - 2\sqrt{514}[/tex]
[tex]s_2 = -6 + 2\sqrt{514}[/tex]
Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation homogène forme un sous-espace vectoriel, engendré par s1 et s2, tel que :
S = Un = [tex]a*e^{(-6-2\sqrt{514})n} + b*e^{(-6+2\sqrt{514})n}[/tex] avec a et b, des réels.
Comme U0 = 0, et U1 = 4, on déduit :
[tex]a + b = 0[/tex] d'où b = -a
[tex]a*e^{-6-2\sqrt{514}} + b*e^{-6+2\sqrt{514}} = a*e^{-6-2\sqrt{514}} -a*e^{-6+2\sqrt{514}} = 4[/tex]
Donc : [tex]a*e^{-6} * (e^{-2\sqrt{514}} - e^{2\sqrt{514}}) = 4[/tex]
Qu'on peut réécrire, via le sinus hyperbolique :
[tex]-2*a*e^{-6} * sh(2\sqrt{514}) = 4[/tex]
[tex]a = -\frac{2e^{6}}{sh(2\sqrt{514}) }[/tex]
Avant d'intégrer ceci parmi Un, on peut réécrire Un, comme b = -a :
[tex]U_n = a*e^{(-6-2\sqrt{514})n} -a*e^{(-6+2\sqrt{514})n}[/tex]
[tex]= a*e^{-6n}*(e^{-2n\sqrt{514}} - e^{2n\sqrt{514}})[/tex]
[tex]= -2*a*e^{-6n} *sh(2n\sqrt{514})[/tex]
[tex]= -2 * ( -\frac{2e^{6}}{sh(2\sqrt{514})}) * e^{-6n} * sh(2n\sqrt{514)}[/tex]
[tex]= 4*\frac{e^{-6n+6}*sh(2n\sqrt{514}) }{sh(2\sqrt{514}) }[/tex]
