Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, algèbre linéaire classique, pour l'étudier en bac+2, t'es en prépa ?
1- E étant un espace vectoriel de dimension finie sur R, f est inversible si et seulement si il existe un endomorphisme unique g, tel que f o g = Id.
<==> [tex]3f - f^2 = 2 Id[/tex]
Finalement, f est inversible, tel que :
[tex]f^{-1} = g = \frac{1}{2}(3Id - f)[/tex]
2-a. Question complexe, qui nécessite une conjecture. En premier lieu, fondamentalement, il existe Q, et R, polynômes uniques, tels que :
tels que deg R < deg (X^2 - 3X + 2) = 2.
A chaque opération de la division euclidienne, le degré de Q, ainsi que celui de R, diminue d'une unité. Dans l'idée, il faudrait parvenir à l'étape où deg R < 2.
On prouve aisément que deg Q = p-2 à l'étape initiale :
[tex]X^p = (X^2 - 3X + 2)*X^{p-2} + 3X^{p-1} - 2X^{p-2}[/tex]
Ainsi, à l'état initial, deg Q = p-2, et deg R = p-1. Après 1 opération, on aura deg Q = p-3, et deg R = p-2. Et ainsi de suite... en effectuant p-2 opérations, on aura deg Q = 0 = - infini (par convention), et deg R = 1.
Posons avec n, le nombre d'opérations effectuées.
[tex]X^p = (X^2 - 3X + 2)Q_n(X) + R_n(X)[/tex]
Pour la 1re opération :
[tex]R_0(X) = 3X^{p-1} - 2X^{p-2} = (X^2 - 3X + 2)*3X^{p-3} + 9X^{p-2} - 6X^{p-3} - 2X^{p-2}[/tex]
Ainsi :
[tex]Q_1(X) = 3X^{p-3}, R_1(X) = 7X^{p-2} - 6X^{p-3}[/tex]
Pour la 2e opération :
[tex]R_1(X) = 7X^{p-2} - 6X^{p-3} = (X^2 - 3X + 2)*7X^{p-4} + 21X^{p-3} - 14X^{p-4} - 6X^{p-3}[/tex]
Ainsi : [tex]Q_2(X) = 7X^{p-4}, R_2(X) = 15X^{p-3} - 14X^{p-4}[/tex]
On peut à présent conjecturer plusieurs choses :
[tex]Q_n(X) = (2^{n+1} - 1)X^{p-n-2}[/tex]
et [tex]R_n(X) = (2^{n+2} - 1)X^{p-n-1} - (2^{n+2} - 2)X^{p-n-2}[/tex]
Une preuve peut être effectuée via récurrence. Ainsi, en effectuant p-2 opérations (n = p-2), on déduit que :
[tex]Q_{p-2}(X) = (2^{p-1} - 1), R_{p-2}(X) = (2^p - 1)X - (2^p - 2)[/tex]
Le reste recherché vaut donc [tex]R_{p-2}(X)[/tex]
2b. En identifiant X, avec l'endomorphisme f (on peut le faire, car f est inversible, d'après le théorème de Cayley-Hamilton), on déduit qu'en réalité, l'expression recherchée est égale au reste.
Conclusion : [tex]f^p = (2^p - 1)f - (2^p - 2)Id[/tex]
3a- Afin de prouver cette égalité, il faut prouver que Ker(f - 2Id) est en somme directe avec Ker(f - Id).
En premier lieu, soit u dans Ker (f - Id) INTER Ker (f - 2 Id), alors respectivement : f(u) = u et f(u) = 2u. Pour vérifier cette condition, nécessairement, u = 0. Ainsi, l'intersection de ces 2 sous-espaces est réduite à {0}.
Deuxièmement, on procède par double inclusion. Ker(f - Id) et Ker(f - 2id) sont 2 sous-espaces vectoriels de E, la somme de 2 sous-espaces restant un sous-espace, on déduit que Ker(f - Id) + Ker (f - 2 Id) inclus dans E.
A présent, dans l'autre sens :
Soit x € E, tel que x = f(x) - x - (f(x) - 2x). Alors d'une part :
f(f(x) - 2x) = f^2(x) - 2f(x) = f(x) - 2x. Ainsi, f - 2Id € Ker (f - Id) € E (car inclus dans E).
De même : f(f(x) - x) = f^2(x) - f(x) = 2f(x) - 2x = 2(f(x) - x). Donc f - Id € Ker (f - 2Id) € E.
Ainsi, x est bien la somme de Ker (f-2Id) et Ker (f-Id), on conclut sur l'égalité.
3b- Démarrant de l'endomorphisme f, on est parvenu à construire l'espace E, à l'aide de 2 sous espaces en somme directe. Il s'agit d'une équivalence, une condition nécessaire et suffisante pour assurer la diagonalisabilité. Ainsi, les valeurs propres potentielles seraient 2, et 1.
3c- Étant donné que f est diagonalisable, avec dim(E) = 3, il faut raisonner en fonction de la multiplicité des valeurs propres. B' étant la matrice de passage pour la transformation en matrice diagonale, étudions les positions des coefficients :
(1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; (2, 1, 1) ; (1, 2, 2) ; (2, 1, 2) ; (2, 2, 1).
Pour les 3 premiers cas, 1 est de multiplicité 2. Pour les 3 derniers, 2 est de multiplicité 2. Ainsi, 6 matrices possibles.
