Réponse :
Je pense que la fonction de la proposition subordonnée de cette phrase est complétive.
Explications :
Je me suis aidée de ce texte ici :
• Une proposition subordonnée peut être complément d'objet du verbe principal. On dit alors qu'elle est complétive.
Ex. : J'espère [que tu ne nous en veux pas].
→ que tu ne nous en veux pas est COD du verbe espère.
Remarque : les propositions subordonnées complétives peuvent avoir des natures différentes : conjonctive (comme ci-dessus), mais aussi interrogative (Je ne sais pas [quand il viendra]) ou infinitive (On entend [les chiens aboyer]).