Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, algèbre linéaire, pour t'en sortir dans ce chapitre, il te faut maîtriser tous les autres prérequis, au préalable. (noyau, image, théorème du rang, familles libres et génératrices, déterminants valeur propre et vecteur propre etc).
1- La trace d'une matrice, se détermine par la somme des valeurs propres de A. Il faudra donc raisonner sur les valeurs propres.
Soit T, une valeur propre, alors det (A - T*In) = 0 (déterminant nul).
Le polynôme caractéristique d'une matrice de taille nxn sera toujours de degré n.
Par le théorème du rang, on sait que dim E = 3 = dim Ker A + dim Im A = dim Ker A + rang A.
Rang A, c'est le nombre de vecteurs colonnes linéairement indépendants de ta matrice. Ici, rang A = 1. Ainsi, les 3 vecteurs sont colinéaires, cela signifie par définition, que det A = 0 (déterminant toujours nul si les 3 vecteurs ne sont pas indépendants).
0 est donc valeur propre de ta matrice A, cependant, il faut déterminer sa multiplicité (est-elle simple ? double ? etc). Sa multiplicité, nous permettra de savoir s'il faut la compter plusieurs fois, dans le calcul de la trace.
On pourra le déterminer plus tard.
dim Ker (A - 2in) = 1, donc en vertu du théorème du rang, rang (A - 2In) = 2. Ainsi, det (A - 2In) = 0, donc 2 valeur propre de A.
Lors du calcul du polynôme caractéristique, il peut arriver que, par exemple, tu aies X^3. La dimension du sous espace propre associé sera inférieure ou égal à 3, pas forcément égale à 3.
Ici, même raisonnement, soit m0, multiplicité de la valeur propre 0, et m2 multiplicité de la valeur propre 2.
On peut affirmer que 1 <= m2 <= 3 et 2 <= m0 <= 3. Si m0 est de multiplicité 3, alors m0 serait de multiplicité 0 (car le degré du polynôme vaut 3), absurde car 0 est valeur propre. Donc m0 = 2. Ainsi, il ne reste qu'une seule possibilité, m2 = 1.
Conclusion : 0 valeur propre double de A, et 2 valeur propre simple de A. La trace vaut donc 2.
b- A est diagonalisable, si et seulement la dimension de chaque sous espace propre associé, est égale à l'ordre de multiplicité de sa valeur propre. 0 valeur propre double avec dim Ker A = 2, et 2 valeur propre simple avec dim Ker (A-2In) = 1, A est donc diagonalisable. (ce qui permet souvent de conclure, c'est le degré du polynôme caractéristique).
2- a. Même raisonnement qu'au dessus, à une petite exception près, que l'on étudiera à la fin. Dim rang A = 2, donc Dim Ker A = 2 avec det A = 0.
0 toujours valeur propre de A, de multiplicité 2 <= m0 <= 4 cette fois.
Dim Ker(A-2In) = 1, donc Rang A-2In = 3, on déduit que det (A-2In) = 0, 2 valeur propre de A, de multiplicité 1 <= m2 <= 4.
Si m0 = m2 = 4, absurde car m2 ou m0 vaudrait 0.
Si m2 = 3, alors m1 = 1, absurde car m0 >= 2.
Il restera alors :
1- m0 = 3 et m2 = 1.
2- m0 = 2 et m2 = 2
3- m0 = 2, m2 = 1, et une autre valeur propre simple qu'on ne connaît pas, la somme des multiplicités doit être égal au degré du polynôme caractéristique, soit 4.
Etudions les cas où A sera diagonalisable :
1- A ne sera pas diagonalisable, ni dans C ni dans R, car les dimensions de chaque sous espace, ne sont pas égales aux multiplicités des valeurs propres associées.
2- Impossible non plus, car dim Ker (A-2In) = 1 qui ne vaut pas m2 = 2.
3- Dernière et unique propriété valable, qui respecte la condition. A sera alors diagonalisable sur C, 0 valeur propre double, 2 valeur propre simple, ainsi qu'une autre valeur propre simple. Les coefficients étant réels, il n'y aura aucun facteur irréductible dans le polynôme caractéristique, ce qui assure la diagonalisabilité sur R y compris.
b- Ici, il faut étudier l'ensemble des cas possibles. On peut passer outre les cas où A n'est pas diagonalisable, on conservera donc le 3e cas. Si Tr(A) = 2, alors 0 est la 3e valeur propre, donc m0 augmentera sa multiplicité de 1, et, on l'a vu, ça ne fonctionne pas.
c- Même raisonnement qu'au dessus.
