Réponse :
Soit X = √(√2 + 2√(√2 - 1)) + √(√2 - 2√(√2 - 1))
On pose
X₁ = √2
X₂ = 2√(√2 - 1)
Soit X = √(X₁ + X₂) + √(X₁ - X₂)
X² = (√(X₁ + X₂) + √(X₁ - X₂) )² = √(X₁ + X₂)² + √(X₁ - X₂)² + 2√(X₁ + X₂)√(X₁ - X₂)
X² = 2*X₁ + 2√((X₁ + X₂)(X₁ - X₂)) = 2*(X₁ + √(X₁² - X₂²))
Or X₁² - X₂² = (√2)² - (2√(√2 - 1))²
= 2 - 4 * (√2 - 1) = 2 + 4 - 4√2 = 6 - 4√2
Soit X² = 2*(√2 + √(6 - 4√2))
On recommence
Soit X₃ = √2
Soit X₄ = √(6 - 4√2)
X⁴ = (2*(√2 + √(6 - 4√2)))² = 4 * (X₃² + X₄² + 2X₃X₄)
X⁴ = 4*(2 + (6 - 4√2) + 2*√2*√(6 - 4√2) )
X⁴ = 4*(8 - 4√2 + 2*√(8 - 4√2) )
X⁴ = 8*(4 - 2√2 + √(8 - 4√2)
On factorise
Explications étape par étape
