Réponse :
Bonjour, pour ta grande soeur. (j'en déduis que tu n'es pas en terminale donc que tu ne peux pas l'aider)
Explications étape par étape
f(x)=1(x²+x-2)
1) f(x) est une fonction quotient elle n'est donc pas définie par les valeurs de x qui annulent le diviseur (division par 0 impossible)
x²+x-2=0 delta=9 solutions x=-2 et x=1
Df=R-{-2; 1}
2) dérivée: f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v²avec
u=1 u'=0
v=x²+x-2 v'=2x+1
f'(x)=-(2x+1)/(x²+x-2)²=(-2x-1)/(x²+x-2)
f'(x)=0 pour (-2x-1)=0 soit x=-1/2
si x<-1/2, f'(x)>0 et si x>-1/2, f'(x)<0
3)limites aux bornes du domaine
si x tend vers -oo f(x) tend vers 0+
si x tend vers -2(avec x<-2), x² est>4 donc x²+x-2 tend vers 0+ et f(x) tend vers +oo
si xtend vers -2 (avec x>-2) x² est<4 donc x²+x-2 tend vers 0- et f(x) tend vers -oo
si x tend vers 1 (avec x<1) x² est<1donc x²+x-2 tend vers 0- et f(x) tend vers -oo
si xtend vers1 (avecx>1) x² est>1 donc x²-x-2 tend vers 0+ et f(x) tend vers +oo
si x tend vers+oo f(x) tend vers 0+
On note que la droite y=0 est une asymptote horizontale et les droite x=-2 et x=1 sont des asymptotes verticales
4)tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo -2 -1/2 1 +oo
f'(x)...................+..................II.......+...............0........-.................II.........-...............
f(x)..0+............C...........+ooII-oo......C.......-9/4.....D..........-ooII+oo.......D.........0+
f(-1/2)=(-1/2)²-1/2-2=1/4-1/2-2=-9/4
II=valeurs interdites pur lesquelles f(x) et f'(x) ne sont pas définies
C=croissante et D=décroissante
