Réponse :
ABCD est un carré
O son centre et M ∈ [AB] et N ∈ [BC] avec AM = BN = x
f(x) = Aire OMN
1) Si ABCD est un carré, alors ses diagonales sont perpendiculaires et de memes longueurs.
AOB = BOC = 90° et AOB = AOM + MOB et BOC = BON + NOC
Or si AM = BN, alors AOM = BON et MOB = NOC
Donc MON = AOC - (AOM + NOC) = AOC - AOB = 180° - 90° = 90°
De meme, si AM = BN = x, si AO = BO et si AOM = BON, Alors OM = ON
Donc MON est un triangle rectangle isocèle en O
2) Aire triangle MON
On utilise le theoreme de pythagore ds le triangle MBN rectangle en B
MN² = MB² + BN² = ((AB-x)² + (x)² = ((6-x)² + x²) = 36 - 12x + 2x² = 2 (x² - 6x + 18)
On utilise le theoreme de Pythagore dans le triangle rectangle isocele MON
MN² = 0M² + ON² = 2 * OM²
OM² = 1/2 MN² = x² - 6x + 18
Donc Aire triangle MON = OM*ON/2 = OM² / 2 = 1/2 * (x² - 6x + 18)
3) Soit f(x) = 1/2(3-x)² + 9/2
f(x) = 1/2 * (9 + x² - 6x + 9)
f(x) = 1/2 * (x² - 6x + 18)
4a) On cherche x tel que Aire OMN = 1/4 Aire ABCD
Aire ABCD = 6*6 = 36 cm²
Aire OMN = 36/4 = 9 cm²
Cela revient à Résoudre 1/2 (x² - 6x + 18) = 9
Soit x² - 6x = x (x-6) = 0
Pour x = 0 et pour x = 6 c'est a dire quand le triangle MON = triangle AOB = triangle BOC (superposition avec les diagonales du carré ABCD)
4b) Cela revient à Résoudre 1/2 (x² - 6x + 18) = 5 cm²
Soit x² - 6x + 8 = 0
Delta = 36 - 4(1)(8) = 4 et √Delta = 2
x1 = (-(-6) - 2) / 2 = 2
x2 = (-(-6) + 2) / 2 = 4
x² - 6x + 8 = (x-2)*(x-4) = 0 pour x = 2 ou pour x = 4
4c) Cela revient à Résoudre f(x) = 1/2 (x² - 6x + 18)
f'(x) = 1/2 * (2x -6) = x - 3
f'(x) = 0 pour x = 3 soit quand M est milieu de AB
f(3) = 1/2 ( 3² - 6(3) + 18) = 4,5 cm²
5) Aire du triangle BMN = BM * BN / 2
Aire = (AB-x) * x / 2 = (6-x)(x)/2 = (6x - x²) / 2
Aire OMBN = Aire triangle MOB + Aire triangle BON
Or Aire triangle BON = Aire triangle AOM
Soit Aire OMBN = Aire AOM + Aire MOB = Aire AOB = 1/4 Aire carré ABCD
Soit Aire OMNB = 9cm² quelquesoit la valeur de x
Explications étape par étape