Réponse :
Explications étape par étape
1) Conjecture: lim(kn)=0
2)a) n(n²-2)+5=n^3-2n+5
pour n=0 n^3-2n+5=5 >0
pour n=1 n^3-2n+5=4 >0
pour n>=2 n >0 ; n²-2>0 et 5>0 donc n^3 > 0-2n+5
Conclusion n^3-2n+5 > 0 pour tout n € N
b) -1 < sin n < 1
n²-1 < n²+sin n < n²+1
On divise par n^3-2n+5 > 0
n²-1 / n^3-2n+5 <Kn < n²+1/n^3-2n+5
3) lim (n²-1)/(n^3-2n+5 )= lim n²(1-1/n²)/n^3(1-2/n²+3/n^3)
= lim (1-1/n²)/n(1-2/n²+3/n^3)
lim 1/n²=lim2/n²=lim3/n^3=0
lim (1-1/n²)/(1-2/n²+3/n^3)=1
lim 1/n=0
et lim (n²-1)/(n^3-2n+5 )=0
De même pour lim n²+1/n^3-2n+5=0
Théorème des gendarmes
lim kn = 0
