Bonjour,
On peut calculer les premiers termes pour se faire une idée
[tex]u_0=5\\ \\u_1=\dfrac{5+4}{2}=\dfrac{9}{2}=4+\dfrac{1}{2} \\ \\u_2=\dfrac{9+8}{4}=\dfrac{17}{4}=4+\dfrac{1}{4}[/tex]
1.
Introduction
Nous allons démontrer par récurrence que
[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\u_n\geq 4[/tex]
Etape 1 - Initialisation
pour n = 0, 5 est plus grand que 4 donc c'est vrai
Etape 2 - Hérédité
Soit k entier quelconque, supposons que ce soit vrai au rang k, donc
[tex]u_k\geq 4[/tex]
Et montrons que cela reste vrai au rang k+1
[tex]u_{k+1}=\dfrac{u_k+4}{2}\geq \dfrac{4+4}{2}=4[/tex] en utilisant l'hypothèse de récurrence
donc ça reste vrai au rang k+1
Conclusion
Nous venons de démontrer par récurrence que
[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\u_n\geq 4[/tex]
2.
[tex]\forall n \in \mathb{N} \\ \\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+4-2u_n}{2}=-\dfrac{1}{2}u_n+2[/tex]
3.
Utilisons le résultat du 1.
[tex]\forall n \in \mathb{N} \\ \\ u_{n+1}-u_n\\\\=-\dfrac{1}{2}u_n+2\leq -\dfrac{4}{2}+2=0[/tex]
Donc la suite est décroissante
4.
La suite est décroissante et minorée par 4 donc elle converge.
Si on veut aller plus loin (non demandé dans l'exercice)
Et sa limite l vérifie
[tex]l=\dfrac{l+4}{2} <=> 2l=l+4<=>l=4[/tex]
Donc la suite converge vers 4.
Merci
