Bonjour,
Tout d'abord, pour que z' soit bien défini nous devons avoir z différent de i car
[tex]\overline{z}+i=0<=>\overline{z}=-i<=>z=i[/tex]
Nous pouvons suivre une méthode naive.
Prenons z un complexe quelconque différent de i, nous pouvons l'écrire avec a et b réels, tels que (a,b) soit différent de (0,1),
z=a+ib et alors
[tex]z'=\dfrac{2(a-ib)}{a-ib-i}=\dfrac{2(a-ib)(a+ib+i)}{(a-ib-i)(a+ib+i)}\\\\=\dfrac{2(a^2+iab+ia-iba+b^2+b)}{a^2+(b+1)^2}\\ \\=\dfrac{2(a^2+b^2+b+ia)}{a^2+(b+1)^2}\\ \\[/tex]
z' est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, donc a = 0 et alors z est de la forme bi avec b différent de 1
La bonne réponse est donc a) z est imaginaire pur différent de i.
Merci
Remarque: une approche plus élégante consiste à dire que z' est réel si et seulement si son conjugué est égal à lui même donc, pour z complexe différent de i
[tex]\overline{z'}=z'<=>2z(\overline{z}+i)=2\overline{z}(z-i)\\\\<=>2z\overline{z}+2zi-2z\overline{z}+2\overline{z}i=0\\ \\<=> \overline{z}=-z[/tex]
Ainsi z est un imaginaire pur différent de i
