Montrons le par le calcul. Soit a, b ∈ R. On a :
(a+b)³ = (a+b)²*(a+b) = (a²+2ab+b²)(a+b) = a³ + 2a²b + ab² + a²b * 2ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
En fait c'est le binome de newton pour n = 3. On pourrait aussi apporter une preuve combinatoire qui en changeant les 3 en n prouve la formule dans le cas générale :
Quand on dévellope l'expréssion : (a+b)³ = (a+b)(a+b)(a+b), on obtient des termes de la forme a∧p*b∧q où p (resp. q) désigne le nombre de fois où l'on a choisi a (resp. b) en développant. On a forcément 3 = p + q. D'autre part il y a 3 parmi p manière différente de choisir p fois la valeur a (et une fois ces valeurs choisies il ne reste qu'une seule façon de choisir les valeursb). Le terme a∧p*b∧3-q apparait donc dans le développement avec le coefficient p parmi 3. D'où : (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
