b. Croissante — ≤ — Décroissante — ≥ — Égale — ≤
c. Même texte, en changeant sur ]0 ; 1] en [1 ; +∞[
et, dans les trous : Croissante — ≥ — Décroissante — ≤ — Égale — ≥
3. a. x² + x + 1 = x² + 2 x/2 + 1/4 + 3/4
= (x + 1/2)² + 3/4
x³ - 1 = x³ + x² - x² + x - x - 1
= x³ + x² + x - x² - x - 1
= x(x² + x + 1) - (x² - x - 1)
= (x - 1) (x² + x + 1)
b. On a : x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4
Or (x + 1/2)² ≥ 0 pour tout x ∈ IR ⇔ (x + 1/2)² + 3/4 > 0 pour tout x ∈ IR
Donc x² + x + 1 est positif pour tout x ∈ IR.
c. On a : x³ - 1 = (x - 1) (x² + x + 1)
Or on vient de montrer que x² + x + 1 est toujours positif, aussi (x - 1) (x² + x + 1) a le signe de x - 1.
Donc le signe de x³ - 1 est le même que celui de x - 1 et sera négatif pour tout x ≤ 1 et positif pour tout x ≥ 1.
Ce qui donne le tableau suivant :
x | -∞ 1 +∞|
x³ - 1 | - 0 + |
d. x² - 1/x = (x³ - 1)/x
= (x - 1) (x² + x + 1)/x
e. On a donc le tableau de signes suivant :
x | -∞ 0 1 +∞|
x³ - 1 | - 0 + |
x | - 0 + |
x² - 1/x | + || - 0 + |
Ce qui nous apprend que :
— x² > 1/x pour tout x ∈ IR - ]0 ; 1[ ;
— x² < 1/x pour pour x ∈ ]0 ; 1[ ;
— x² = 1/x pour x = 1.
— 1/x n'existe pas pour x = 0, contrairement à x².
