Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Tu traces (O₁O₂) et place E , point de tangence des 2 2 cercles.
Tu projettes D en H sur (O₁E).
Comme (AD) est perpendiculaire à (AB) et que (DH) est perpendiculaire à sa // (O₁E) , alors (AD) et (DH) sont une seule et même droite. OK ? Car ça, ça n'est pas dit . OK ?
Par symétrie de la figure , on donc :
HE=DC/2=a/2
On a :
O₁D=R ( car c'est un rayon du cercle O₁).
O₁E=R
O₁H=O₁E-HE=R-a/2
Tu me suis ?
Par ailleurs :
EA=R : tu comprends pourquoi ? Tu n'as qu'à tracer le segment qui part de O₁ et qui sera perpendiculaire à la droite (AB) pour comprendre.
Comme HD=HA-DA , alors HD=R-a
Je récapitule :
Dans le triangle O₁HD , rectangle en H , on a :
O₁D=R ; O₁H=R-a/2 ; HD=R-a
Pythagore :
O₁D²=O₁H²+HD²
R²=(R-a/2)²+(R-a)
R²=R²-aR+a²/4+R²-2aR+a²
Un R² à gauche et à droite s'éliminent.
On arrive à :
-aR+a²/4+R²-2aR+a²=0 soit :
a²+a²/4-3aR+R²=0
On multiplie tous les termes par 4 pour ne plus avoir de dénominateur :
4a²+a²-12aR+4R²=0
5a²-12aR+4R²=0
Ou :
5a²-12R*a+4R²=0
L'inconnue est "a" . On va chercher les racines de cette équation comme si l'on avait :
5x²-12R*x+4R²=0
Donc le "b" de Δ=b²-4ac est ici "-12R". OK ?
Et "-b" vaut donc 12R. OK ?
Tu me suis ?
Δ=b²-4acR =(-12R)²-4*5*4R²=144R²-80R²=64R² > 0
√(64R²)=8R
Tu suis toujours ?
a₁=(12R-8R)/2*5=4R/10=2R/5
a₂=(12R+8R)/10=2R
Or a=AD et AD < AH . Comme AH=R , alors a < R.
Donc on ne retient pas a₂=2R
Donc :
a=2R/5
Ce qui colle avec ma figure où j'ai pris R=4 cm qui donne : a=2*4/5=1.6 cm.
Et sur ma figure : AD=1.6 cm.
Bon courage.
