Bonsoir,
On considère le polynôme [tex]P_m[/tex] définie par [tex]P_m(X) = 2X^2 + (m - 5)X + m + 3[/tex] avec m un réel.
Le discriminant de [tex]P_m[/tex] est:
[tex]\Delta_1 = (m-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m+3)[/tex] #b² - 4ac
[tex]P_m(X) = 0[/tex] admet deux solutions distinctes (différentes) si et seulement si [tex]\Delta_1 > 0[/tex].
Il vient,
[tex](m-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m+3) > 0[/tex]
[tex]m^2 - 10m + 25 - 8m - 24 > 0[/tex]
[tex]m^2 - 18m + 1 > 0[/tex]
On peut refaire un coup de discriminant pour savoir quand m est strictement supérieur à 0:
[tex]\Delta_2 = 18^2 - 4 = 320[/tex]
Le polynôme [tex]P_2(m) = m^2 - 18m + 1[/tex] s'annule pour:
[tex]m_1 = 9 - 4\sqrt{5}[/tex] #(-b - racine(Delta2)) / (2a) et racine(320) = 8racine(5)
[tex]m_2 = 9 + 4\sqrt{5}[/tex] #(-b + racine(Delta2)) / (2a)
Comme le coefficient devant le m² est positif, [tex]m^2 - 18m + 1 > 0[/tex] pour [tex]m \in ]-\infty; 9 - 4\sqrt{5}[ \cup]9+4\sqrt{5}; +\infty[[/tex]. (Un tableau de signe n'est pas de refus ici pour la rédaction)
Finalement, [tex]\boxed{m \in \mathbb{R} \backslash [9-4\sqrt{5}; 9+4\sqrt{5}]}[/tex]
Bonne soirée,
Thomas
