Explications étape par étape:
Bonsoir, on posera s = phi par commodité. s est l'unique solution positive de l'équation s^2 = s+1.
De même, on déduit que s^3 = s^2 + s = 2s+1, s^4 = s^3 + s^2 = 3s+2 etc. On peut d'ores et déjà conjecturer que s^(n+2) = s^(n+1) + s^n, avec n un entier naturel. Prouvons-le par récurrence :
L'initialisation est facile, faisons l'hérédité, soit k un entier naturel fixé, montrons alors s^(k+3) = s^(k+2) + s^(k+1).
Par hypothèse de récurrence, s^(k+2) = s^(k+1) + s^k d'où s^(k+3) = s*[s^(k+1) + s^k] = s^(k+2) + s^(k+1), la propriété est donc vraie.
Néanmoins, il semblerait que s^n peut s'exprimer en fonction de s, et quelques entiers naturels spéciaux (qui correspondent aux entiers naturels de Fibonacci, mais on va le démontrer). Montrons par récurrence qu'il existe des entiers naturels r(n), et t(n) tels que s^n = r(n)*s + t(n). L'initialisation est déjà effectué au rang 0 et 1, prouvons alors par hérédité cette propriété, à partir du rang k+2.
En vertu de la 1re propriété, s^(k+2) = s^(k+1) + s^k. Or, par définition et hypothèse de récurrence, s^k = r(k)*s + t(k) et s^(k+1) = r(k+1)*s + t(k+1).
Par conséquent s^(k+2) = r(k+1)*s + t(k+1) + r(k)*s + t(k) = [r(k) + r(k+1)]*s + [t(k) + t(k+1)] = r(k+2)*s + t(k+2) en posant r(k+2) = r(k+1) + r(k) et t(k+2) = t(k+1) + t(k).
On a donc finalement prouvé 2 choses, que s^(n+2) = s^(n+1) + s^n, et s^(n+2) = [r(n+1) + r(n)]*s + [t(n+1) + t(n)]. En vérité, ici sont exhibées 2 suites de Fibonacci, R(n+2) = R(n+1) + R(n), et T(n+2) = T(n+1) + T(n). On pourrait aller plus loin, en reliant R(n) et T(n) mais ce n'est pas nécessaire.
On conclut donc que s^2020 = [R(2019) + R(2018)]*s + T(2019) + T(2018) avec R(1) = 1 et T(1) = 0.
Remarque,ne sachant pas quel est ton niveau, pour l'anecdote, il est possible de déterminer de directement sa valeur, en résolvant la suite définie par récurrence (linéaire d'ordre 2).
