Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape
1)
[tex]P(x)=ax^2 +bx+c\\P(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+2ax+a+bx+b+c\\x=P(x+1)-P(x)=2ax+a+b\\2a=1\ \Longrightarrow\ a=\dfrac{1}{2} \\\\a+b=0 \Longrightarrow\ b=\dfrac{-1}{2} \\\\P(x)=\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{x}{2} +c\\[/tex]
2)
[tex]P(2)-P(1)=1\\P(3)-P(2)=2\\P(4)-P(3)=3\\P(5)-P(4)=4\\...\\P(n+1)-P(n)=n\\\\P(n+1)-P(1)=1+2+3+4+...+n\\\\\\3)\\\\P(1)=\dfrac{1^2}{2} -\dfrac{1}{2} +c=c\\P(n+1)=\dfrac{(n+1)^2}{2} -\dfrac{n+1}{2} +c\\P(n+1)-P(1)=\dfrac{(n+1)^2}{2} -\dfrac{n+1}{2} +c-c\\=\dfrac{n+1}{2} (\dfrac{n+1}{2} -\dfrac{1}{2} )\\\\\boxed{P(n+1)-P(1)=1+2+3+4+...+n=\dfrac{n*(n+1)}{2} }\\[/tex]
4)
[tex]1+2+3+...+2015=\dfrac{2015*2016}{2} =2031120\\[/tex]
