Réponse :
1) soient n ; n+1 , n+2, n+3 entiers consécutifs
S = n + n+1 + n+2 + n+3 = 4 n + 10 = 2(2 n + 5) 2 n + 5 = k est un entier
donc S = 2 k est pair
2) Montrer que pour tout entier n impaire, l'expression 3 n²+2 n + 1 définie un entier pair
n impaire ⇔ il existe un entier k ∈ Z tel que n = 2 k + 1
3(2 k + 1)² + 2(2 k + 1) + 1 = 3(4 k² + 4 k + 1) + 4 k + 2 + 1
= 12 k² + 12 k + 3 + 4 k + 3 = 12 k² + 16 k + 6 = 2(6 k² + 8 k + 3)
or 6 k²+8 k + 3 ∈ Z et on pose k' = 6 k² + 8 k + 3 donc k' ∈ Z
Donc on obtient 3 n² + 2 n + 1 = 2 k' donc pair
3) Montrer que, pour tout entier n, l'expression n² + 3 n est un entier pair
n : pair ⇒ n = 2 k k ∈ Z
(2 k)² + 3(2 k) = 4 k² + 6 k = 2(2 k² + 3 k) or 2 k²+ 3 k ∈ Z et on pose k' = 2 k² + 3 k donc k' ∈ Z
donc n² + 3 n = 2 k' pair
n : impair ⇒ n = 2 k + 1 k ∈ Z
(2 k + 1)² + 3(2 k + 1) = 4 k² + 4 k + 1 + 6 k + 3 = 4 k² + 10 k + 4
= 2(2 k² + 5 k + 2) or 2 k² + 5 k + 2 ∈ Z ∈ Z et on pose k' = 2k²+5k+2
donc k' ∈ Z donc n² + 3 n = 2 k' pair
donc pour tout entier n, n²+3 n est un entier pair
ex4
pour x > 0 , comparer les nombres
x/(x+1) ; (x + 1)/(x +2)
x(x+2)/(x+1)(x+2) = (x² + 2 x)/(x+1)(x+2)
(x+1)²/(x+1)(x+2) = (x² + 2 x + 1)/(x+1)(x+2)
or x²+ 2 x + 1 > x² + 2 x donc (x+1)/(x+2) > x/(x+1)
Explications étape par étape
