Bonjour,
Nous pouvons remarquer que
pour tout a différent de 1
[tex]\displaystyle 1+a+a^2+...+a^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1} \ a^k = \dfrac{a^n-1}{a-1}[/tex]
donc
[tex](a^n-1)=(a-1)(1+a+a^2+...+a^n)[/tex]
Revenons à [tex]x^n-a^n[/tex]
Soit a = 0 et il n'y pas grand chose à faire
Soit x = a et il n'y pas grand chose à faire non plus
Donc nous pouvons supposer que a est différent de 0 et de x
[tex]x^n-a^n=a^n((\dfrac{x}{a})^n -1)=a^n(\dfrac{x}{a}-1)(1+\dfrac{x}{a}+\dfrac{x^2}{a^2} + ... + \dfrac{x^{n-1}}{a^{n-1}})\\\\=(x-a)(a^{n-1}+xa^{n-2}+....+x^{n-2}a+x^{n-1})[/tex]
Merci
