Bonjour,
1.
pour tout x réel différent de -1 posons
[tex]f(x)=\dfrac{x}{x+1}[/tex]
calculer
[tex]\dfrac{d}{dx}(f(x))[/tex]
revient a estimer la limite suivante (qui existe puisque f est dérivable comme quotient de fonctions qui le sont sur son domaine de définition)
[tex]\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\[/tex]
[tex]\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\dfrac{x+h}{x+h+1}-\dfrac{x}{x+1}}{h}\\\\=\dfrac{(x+h)(x+1)-x(x+h+1)}{h(x+1)(x+h+1)}\\\\=\dfrac{x^2+(h+1)x+h-x^2-(h+1)x}{h(x+1)(x+h+1)}\\\\=\dfrac{h}{h(x+1)(x+h+1)}\\\\=\dfrac{1}{(x+1)(x+h+1)}[/tex]
Et quand h tend vers 0 ça tend vers
[tex]\dfrac{1}{(x+1)^2}[/tex]
2.
Prenons x>0 pour que tout ce beau monde existe et remarquons que f est dérivable sur son domaine de définition.
[tex]\forall x > 0\\ \\f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^2-2xln(x)}{x^4}=\dfrac{x(1-2ln(x))}{x^4}\\ \\=\dfrac{1-2ln(x)}{x^3}[/tex]
et
[tex]f'(e^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1-2 \times \dfrac{1}{2}}{e^{3/2}}=0[/tex]
Donc la tangente au point x = exp(1/2) de la courbe représentative de f a une pente nulle.
Ton devoir est trop long, poste d'autres questions pour le reste du devoir.
Merci
