Bonjour,
1) f est définie là où son dénominateur est non nul.
Or, son dénominateur en x vaut [tex]\mathrm{e}^x[/tex], qui n'est jamais nul (une exponentielle est toujours <0).
Ainsi, f est définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
2) f est dérivable et, pour x réel :
[tex]f'(x)=\frac{1 \times \mathrm{e}^x-(x+2)\mathrm{e}^x}{\left(\mathrm{e}^x\right)^2}=\frac{-x\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}}=\frac{-1-x}{\mathrm{e}^x}[/tex]
en factorisant par [tex]\mathrm{e}^x[/tex].
3)a) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en -1 est donné par f'(-1).
Or, f'(-1)=0, donc la tangente à la courbe en -1 est bien horizontale (coefficient directeur nul).
b) Cette équation est, d'après ton cours :
[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)=-x\mathrm{e}^{-x}+2\mathrm{e}^{-x}=(2-x)\mathrm{e}^{-x}[/tex]
soit [tex]\boxed{y=(2-x)\mathrm{e}^{-x}}[/tex].
