Bonjour,
1. Montrons par récurrence que pour tout n entier
[tex]u_n<50[/tex]
Etape 1 - initialisation
[tex]u_0=5<50[/tex]
C'est vrai au rang 0
Etape 2 - Nous supposons que c'est vrai au rang k et nous souhaitons démontrer que cela reste vrai au rang k+1
[tex]u_{k+1}=0,8u_k+10[/tex]
Utilisons l'hypothèse de récurrence
[tex]u_k<50\\ \\<=>0,8u_k<50\times 0,8=40\\\\<=>0,8u_k+10<40+10=50\\\\<=> u_{k+1}<50[/tex]
Etape 3 - Conclusion
Nous venons de démontrer que [tex]u_n<50[/tex] pour tout n entier
2) En utilisant le résultat précédent, pour n entier quelconque
[tex]u_{n+1}-u_n=0,8u_n+10-u_n=-0,2u_n+10>-0,2*50+10=0[/tex]
Donc la suite est croissante.
3) La suite est croissante et majorée donc elle converge.
Ce n'est pas demandé mais on peut aller plus loin
Notons l sa limite, elle vérifie
[tex]l=0,8l+10<=>0,2l=10<=>l=50[/tex]
Donc la suite est convergente et converge vers 50
Merci
