Bonjour,
Exo 1
1.
[tex]j=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\ \\j^2=\dfrac{(-1)^2+(\sqrt{3}i)^2-2\sqrt{3}i}{4}=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\overline j\\ \\j^3=j\times j^2=j\times \overline j=\dfrac{1+3}{4}=1 \\\\j^2+j+1=\dfrac{-1-\sqrt{3}i-1+\sqrt{3}i+2}{2}=0[/tex]
Comme l'équation est à coefficients réels et que j est solution le conjugué de j est aussi solution.
2. Ce sont les racines 3ieme de l'unité
[tex]j=e^{i\dfrac{2\pi}{3}[/tex]
car
[tex]cos(\dfrac{2\pi}{3})=-\dfrac{1}{2} \\ \\sin(\dfrac{2\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
3.
[tex]1+j+j^2=\dfrac{j^3-1}{j-1}=0[/tex]
donc [tex]j^3 =1[/tex] et comme [tex]1+j+j^2=0[/tex]
[tex]j^2=-1-j[/tex]
4. PQR est un triangle équilatéral.
Exo 2
1.
[tex]cos(a+b)+isin(a+b)=(cosa+isina)(cosb+isinb)\\\\=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)+i(sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)) \\\\cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)\\ \\sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)[/tex]
2.
remplacer b par -b dans les formules du 1
Exo 3
[tex]z_1=1+i\\ \\z_2=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\\\\Z=z_1z_2=\dfrac{1+\sqrt{3}i+i-\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1-\sqrt{3}+(1+\sqrt{3})i}{2}[/tex]
[tex]|z_1|=\sqrt{2}\\\\|z_2|=1\\ \\|Z|=\sqrt{2}\\\\Arg(Z)=Arg(z_1)+Arg(z_2)=\pi/4+\pi/3=\dfrac{3+4}{12}\pi=\dfrac{7\pi}{12}[/tex]
De ce fait
[tex]cos(7\pi/12)=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\\ \\sin(7\pi/12)=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}[/tex]
Merci
