TSTMG - Devoir maison n°1 - Fonction inverse
Exercice :
Une entreprise fabrique chaque semaine une quantité q en tonnes de produit chimique. Elle produit entre 10
et 100 tonnes par semaines. Le coût total de q tonnes est donné par la fonction définie sur [10; 100) par :
C(q) = 3q2 + 40q + 2700
Partie A : Coût moyen unitaire.
Le coût moyen unitaire est le coût moyen d'une tonne de produit lorsque q tonnes sont produites. On appelle
Cm la fonction représentant le coût moyen unitaire :
C(q)
Cm(q) =
9
1) Démontrer que pour tout réel q de [10; 100) :
2700
Cm(q) = 39 + 40+
9
2) a) Calculer C(q).
b) Démontrer que pour tout réel q de [10; 100) :
3(9-30) (q + 30)
CM(q) =
q?
3) Dresser le tableau de variations de CM.
4) Quel est le coût moyen unitaire minimal ? Pour quelle quantité de produit chimique est-il atteint ?
Partie B : Coût marginal
Le coût marginal est le supplément de coût engendré par la production d'une tonne de produit
supplémentaire, c'est-à-dire :
Cm(q) = C(q + 1) - C(q)
1) Calculer Cm(20). Interpréter ce résultat avec les données de l'énoncé.
2) Démontrer que pour tout réel q de (10; 100) : Cm(q) = 6 + 43.
3) Déterminer C'9). Quelle est la différence entre Cm (9) et C'(9)?
Remarque : En pratique, on assimile le coût marginal de production à la dérivée du coût total.