Un agriculteur doit se rendre du point C de son champ à sa
ferme F. ll se trouve à 3 kilomètres de la route qui mène à la
ferme, et à 5 kilomètres de cette dernière, comme indiqué
sur la figure suivante :

1. On a HF=4.Pourquoi ?
2. On suppose que HM = x avec xel0;4). Pour se rendre à
la ferme, l'agriculteur peut couper à travers champs pour
rejoindre la route au point M. Il parcourt donc la distance
CM+MF.
Sa consommation de carburant est de 1 litre par kilomètre
parcouru sur la route et dek litres (avec k > 1) par kilomètre
parcouru à travers champs. Vérifier que sa consommation
de carburant estc(x) = k VX2+9+4- x.
3. On suppose dans cette question quek =2. Où doit-il
rejoindre la route pour minimiser sa consommation de car-
burant ? Vous pourrez pour cela vous aider de la calculatrice
ou d'un logiciel de géométrie dynamique.

Merci de m'aider

Je peux augmenter les points si l'exercice et compliquer à résoudre.

Question

Answered

Sagot :

VERYJEANPAUL VERYJEANPAUL · Answer 1 · 2020-09-29T15:06:41+02:00

Réponse :

Bonjour pour la1) Applique le th.pythagoreOK et HF=4 km

Explications étape par étape

2)Si HM =x CM²=3²+x² (th. de Pythagore)

donc CM=+rac(9+x²) et MF=4-x

Si la consommation est de k litres/km dans le champ et de 1 litre/km sur route

La consommation pour aller du champ à la ferme est de C=k*CM+1*MF

soit C(x)=k*rac(x²+9)+1(4-x)

3) si k=2 C(x)=2rac(x²+9)-x+4

On va rechercher quel est le minimum de cette fonction sur l'intervalle[0;4]

C(0)=6+4=10 et C(4)=10

Dérivée :

C(x)=2rac(x²+9)-x+4

donc C'(x)=2*2x/2rac(x²+9) -1=2x/rac(x²+9)-1

on met au même dénominateur

[2x-rac(x²+9)]/rac(x²+9) .Cette dérivée =0 si 2x=rac(x²+9)

ou si 4x²=x²+9

ou si 3x²=9 donc x²=3 et x=+rac3 (on prend la valeur>0)

Avec ceci on fait le tableau de signes de la dérivée et de variations de la fonction

x 0 rac3 +4

C'(x) ............-......................0.............+...................

c(x) 10........décroi........C(rac3)........croi .............10

calculons C(rac3)=2rac(12)+4-rac3=4rac3+4-rac3=4+3rac3 litres soit 9,2litres (environ),