Bonjour,
1) La fonction f est [tex]\mathcal{C}^{\infty}[/tex] car polynomiale. Sa convexité est donc donnée par le signe de [tex]f''.[/tex]
Calculons donc [tex]f''[/tex] :
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, f''(x)=6ax+2b.[/tex]
C'est une fonction affine, qui s'annule en [tex]-\frac{b}{3a}[/tex] (car [tex]a \not =0[/tex]).
Si a>0 : Alors [tex]f''[/tex] est négative puis positive, donc la fonction f est concave puis convexe.
Si a<0 : Alors [tex]f''[/tex] est positive puis négative, donc la fonction f est convexe puis concave.
2) La fonction admet pour points d'inflexion les points d'annulation de sa dérivée seconde.
Ici, f admet un unique point d'inflexion d'abscisse [tex]-\frac{b}{3a}[/tex].
3) Ici, a>0, donc f est concave, puis convexe, avec un point d'inflexion d'abscisse -1.
