Bonjour,
1)a) Par définition de S : [tex]S=x_1+x_2 \iff \boxed{x_2=S-x_1}[/tex].
b) Par définition de P : [tex]P=x_1x_2 \iff P=x_1(S-x_1) \iff \boxed{P=Sx_1-x_1^2}[/tex].
2)a) On vient de voir que, s'il existe, [tex]x_1[/tex] vérifie : [tex]P=Sx_1-x_1^2 \iff x_1^2-Sx_1+P=0[/tex].
Ainsi, s'il existe, [tex]x_1[/tex] est solution de l'équation [tex]x^2-Sx+P=0[/tex].
b) On peut faire exactement la même chose en échangeant [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] (ils jouent des rôles symétriques).
3) Si ces nombres réels existent, s'après ce qui précède, ce sont les deux solutions de l'équation : [tex]x^2+3x-40=0[/tex].
On va donc résoudre cette équation pour obtenir ces nombres.
Le discriminant vaut : [tex]\Delta=9+160=169=13^2[/tex]
et les racines sont donc : [tex]x_1=\frac{-3-13}{2}=-8[/tex] et [tex]x_2=\frac{-3+13}{2}=5[/tex].
Les deux nombres cherchés sont donc -8 et 5, dont on vérifie facilement qu'ils conviennent.
