Réponse :
Explications étape par étape :
■ BONJOUR Enzo de Limoges !
■ Un+1 = Un² + 0,25
■ on va tester plusieurs valeurs de Uo
pour observer le comportement de la suite (Un) ,
puisque le texte ne précise rien ! :
■ soit Uo = 1 :
■ U1 = 5/4 = 1,25 ;
U2 = 29/16 = 1,8125 ;
U3 = 905/256 ≈ 3,535156 ;
...
la suite (Un) est donc croissante
■ soit Uo = 0,9 :
U1 = 1,06 ; U2 ≈ 1,37 ; U3 ≈ 2,14 ; U4 ≈ 4,82
la suite est donc croissante
■ soit Uo = 0,5√3 ≈ 0,866 :
U1 = 1 ; U2 = 1,25 ; U3 = 29/16 ;
on retrouve les mêmes termes !
■ soit Uo = 0,6 :
U1 = 0,61 ; U2 ≈ 0,62 ; U3 ≈ 0,64
la suite est donc croissante
■ soit Uo = 0,5 :
U1 = 0,5 ; U2 = 0,5 ; U3 = 0,5
la suite est donc constante
■ soit Uo = 0,4 :
U1 = 0,41 ; U2 ≈ 0,42 ; U3 ≈ 0,425
la suite est donc croissante ( de limite 0,5 )
■ soit Uo = -1 :
U1 = 1,25 ; on retrouve les mêmes termes !
■ Un+2 = (Un+1)² + 0,25
= (Un² + 0,25)² + 0,25
= (Un)^4 + 0,5Un² + 0,0625 + 0,25
la suite (Un) est croissante si :
Un+2 > Un+1
(Un)^4 + 0,5 Un² + 0,0625 > Un²
(Un)^4 - 0,5 Un² + 0,0625 > 0
( Un² - 0,25 )² > 0
cette inégalité est TOUJOURS vérifiée
( sauf pour Un = 0,5 )
donc la suite (Un) est bien TOUJOURS croissante
( sauf pour Un = 0,5 )
■ recherche de la Limite L :
L = L² + 0,25
4L = 4L² + 1
4L² - 4L + 1 = 0
4 (L - 0,5)² = 0
donc Limite = 0,5 .
■ conclusion :
la suite (Un) est toujours croissante
( elle est seulement constante pour Uo = 0,5 )
pour -0,5 < Uo < +0,5 , la Limite = 0,5 .