Kenza veut comparer les prix de deux mutuelles entre un assureur A et un assureur B.
Pour chaque assureur, le prix initial proposé est de 300 euros par an en 2019.
A. L'assureur A prévoit une augmentation de 10 euros par an.
On note u, le prix annuel de la mutuelle de l'assureur A en 2019+ n. 1. Déterminer la valeur de u, et de u, ERREUR ÉNONCÉ ... u ??
U₀ = 300
l'année suivante elle paiera +10 => U₁ = 300 + 10 = 310
idem l'année suivante : U₂ = 310 + 10 = 320
2. Exprimer u, en fonction de u. Quelle est la nature de la suite (u)?
U est donc une suite arithmétique de raison r et de 1er terme U₀ = 300
Uₙ₊₁ = Uₙ + 10
3. En déduire l'expression de u, en fonction de n.
ou Uₙ = 300 + n x 10
4. Quel sera le prix de la mutuelle de l'assureur A en 2030?
en 2030 = 300 + (2030-2019) x 10
= 300 + 11 x 10 = 410 €
5. Combien Kenza aura-t-elle payé au total en 25 ans si elle choisit l'assureur A?
donc calcul en 2034.. voir le 4
B. L'assureur B prévoit une augmentation de 2 % par an.
On note v le prix annuel de la mutuelle de l'assureur en 2019 + n.
1. Déterminer la valeur de v, et de v, ERREUR ÉNONCE .. v ??
on a U₀ = 300
augmentation de 2% => x 1,02
donc 1er terme 300 et raison q = 1,02 => suite géométrique
où Vₙ₊₁ = Vₙ x 1,02
2. Exprimer vnt, en fonction de v.
Vn = 300 x 1,02ₙ
Quel sera le prix de la mutuelle de l'assureur B en 2030?
V₂₀₃₀ = 300 x 1,02 ⁽²⁰³⁰ ⁻ ²⁰¹⁹⁾ = 300 x 1,02¹¹ ≈ 373 €
5. Combien Kenza aura-t-elle payé au total en 25 ans si elle choisit l'assureur B?
donc calcul de V ₂₀₄₄
C. À l'aide de la calculatrice, déterminer en quelle année le prix de la mutuelle de l'assureur B devient pour la première fois plus élevé que le prix de la mutuelle de l'assureur A.
résoudre 300 x 1,02ⁿ > 300 + n x 10